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2015
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[题解][NOIP2010提高]引水入城

[好题] 关键字:题目性质。

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[洛谷1514]  [codevs1066]

时间限制:1000ms  空间限制:131072kb

Description


在一个遥远的国度,一侧是风景秀美的湖泊,另一侧则是漫无边际的沙漠。该国的行政区划十分特殊,刚好构成一个N 行M 列的矩形,如上图所示,其中每个格子都代表一座城市,每座城市都有一个海拔高度。

为了使居民们都尽可能饮用到清澈的湖水,现在要在某些城市建造水利设施。水利设施有两种,分别为蓄水厂和输水站。蓄水厂的功能是利用水泵将湖泊中的水抽取到所在城市的蓄水池中。

因此,只有与湖泊毗邻的第1 行的城市可以建造蓄水厂。而输水站的功能则是通过输水管线利用高度落差,将湖水从高处向低处输送。故一座城市能建造输水站的前提,是存在比它海拔更高且拥 有公共边的相邻城市,已经建有水利设施。由于第N 行的城市靠近沙漠,是该国的干旱区,所以要求其中的每座城市都建有水利设施。那么,这个要求能否满足呢?如果能,请计算最少建造几个蓄水厂;如果不能,求 干旱区中不可能建有水利设施的城市数目。

Input Format


每行中两个数之间用一个空格隔开。输入的第一行是两个正整数N 和M,表示矩形的规模。接下来N 行,每行M 个正整数,依次代表每座城市的海拔高度。

Output Format


如果能满足要求,输出的第一行是整数1,第二行是一个整数,代表最少建造几个蓄水厂;如果不能满足要求,输出的第一行是整数0,第二行是一个整数,代表有几座干旱区中的城市不可能建有水利设施。

Sample Input #1


2 5

9 1 5 4 3

8 7 6 1 2

Sample Output #1


1

1

Sample Input #2


3 6

8 4 5 6 4 4

7 3 4 3 3 3

3 2 2 1 1 2

Sample Output #2


1

3

Hint


【样例1 说明】

只需要在海拔为9 的那座城市中建造蓄水厂,即可满足要求。

【样例2 说明】

上图中,在3 个粗线框出的城市中建造蓄水厂,可以满足要求。以这3个蓄水厂为源头在干旱区中建造的输水站分别用3 种颜色标出。当然,建造方法可能不唯一。

【数据范围】

搜索题。首先对于是否有解的判断,只要从靠近湖泊的城市开始进行一次bfs即可。接下来我们考虑有解的情况如何得出答案。

首先,我们需要注意到本题的一个性质:题目有解时,每座蓄水厂能灌溉到的干旱区城市必然为连续的一段。可以用下图直观地证明。

 

假设在有解的情况下,A城市只能按黑色线路给a,c城市供水,而不能给中间的b城市供水。为了使问题有解,必然存在B城市,使得B可以为b城市供水(假定 通过绿色路线)。显然,黑色路线与绿色路线必然相交,所以A城市可以通过红色路线为b城市供水,与假设矛盾。所以上述题目性质成立。

得出这样的性质后,解题就变得十分简单了。我们从干旱区城市出发进行bfs,得出蓄水厂i能供水的最左端的城市li,以及最右端的城市ri。这样,问题就转换为了:从一堆线段中选出最少的线段,使得所选线段能覆盖从1~m的范围。

类似上述证明可以得到,li与ri均为不下降序列。将问题转化后,我们可以使用dp来解决问题。记f(i)为覆盖1~ri的范围所需的最少线段,那么 f(i) = min(f(j)+1),其中rj+1>=li。当然,我们也可以使用贪心来解决,这里就不多做说明了。

题目的特殊性质可谓是题目的核心,如果没有发现特殊性质,答题难度真的会大大增加......

另外测试数据中n可以为1,可能需要特别注意。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
int n,m,ans = 0,f[510];
int map[510][510],l[510],r[510];
int q[250010][2],head,tail;
short vis[510][510],dir[4][2] = {0,1,1,0,-1,0,0,-1};
int min(int a,int b)
{
    return a<b?a:b;
}
int hasSolution()
{
    int i,j,k,ii,jj;
    head = tail = 1;
    for(i=1;i<=m;i++) { q[tail][0] = 1; q[tail++][1] = i; vis[1][i] = 1;}
    while(head<tail)
    {
        i = q[head][0]; j = q[head][1];
        if(i == n) ans++;
        for(k=0;k<4;k++)
        {
            ii = i+dir[k][0];
            jj = j+dir[k][1];
            if(ii<=0||jj<=0||ii>n||jj>m||vis[ii][jj]||map[i][j]<=map[ii][jj]) continue;
            q[tail][0] = ii; q[tail++][1] = jj; vis[ii][jj] = 1;
        }
        head++;
    }
    ans = m-ans;
    return ans;
}
void bfs(int sj,int *p)
{
    int i,j,k,ii,jj;
    if(vis[n][sj]) return;
    if(n == 1) p[sj] = sj;
    head = 1; tail = 2;
    q[1][0] = n; q[1][1] = sj; vis[n][sj] = 1;
    while(head<tail)
    {
        i = q[head][0]; j = q[head][1];
        for(k=0;k<4;k++)
        {
            ii = i+dir[k][0];
            jj = j+dir[k][1];
            if(ii<=0||jj<=0||ii>n||jj>m||vis[ii][jj]||map[i][j]>=map[ii][jj]) continue;
            q[tail][0] = ii; q[tail++][1] = jj; vis[ii][jj] = 1;
            if(ii == 1) p[jj] = sj;
        }
        head++;
    }
}
int main()
{
    int i,j;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&map[i][j]);
    if(hasSolution()) { printf("0\n%d",ans); return 0;}
    memset(vis,0,sizeof(vis)); for(i=1;i<=m;i++) bfs(i,l);
    memset(vis,0,sizeof(vis)); for(i=m;i;i--) bfs(i,r);
    ans = 999;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        if(!l[i]) continue;
        if(l[i] == 1) f[i] = 1;
        else
        {
            f[i] = 999;
            for(j=1;j<i;j++) if(r[j]+1>=l[i]) f[i] = min(f[i],f[j]+1);
        }
        if(r[i] == m) ans = min(ans,f[i]);
    }
    printf("1\n%d",ans);
    return 0;
}
Category: 题解 | Tags: DP 搜索 codevs 洛谷 好题 | Read Count: 562

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