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2015
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[题解][NOIP2004提高]虫食算

关键字:剪枝。

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[洛谷1092]  [codevs1064]

时间限制:2000ms  空间限制:131072kb

Description


所谓虫食算,就是原先的算式中有一部分被虫子啃掉了,需要我们根据剩下的数字来判定被啃掉的字母。

来看一个简单的例子:

43#9865#045
  +  8468#6633

44445509678

其中#号代表被虫子啃掉的数字。根据算式,我们很容易判断:第一行的两个数字分别是5和3,第二行的数字是5。

现在,我们对问题做两个限制:

首先,我们只考虑加法的虫食算。这里的加法是N进制加法,算式中三个数都有N位,允许有前导的0。

其次,虫子把所有的数都啃光了,我们只知道哪些数字是相同的,我们将相同的数字用相同的字母表示,不同的数字用不同的字母表示。如果这个算式是N进制 的,我们就取英文字母表午的前N个大写字母来表示这个算式中的0到N-1这N个不同的数字:但是这N个字母并不一定顺序地代表0到N-1)。输入数据保证 N个字母分别至少出现一次。

  BADC
+   CBDA

  DCCC

上面的算式是一个4进制的算式。很显然,我们只要让ABCD分别代表0123,便可以让这个式子成立了。你的任务是,对于给定的N进制加法算式,求出N个不同的字母分别代表的数字,使得该加法算式成立。输入数据保证有且仅有一组解。

Input Format


输入包含4行。第一行有一个正整数N(N<=26),后面的3行每行有一个由大写字母组成的字符串,分别代表两个加数以及和。这3个字符串左右两端都没有空格,从高位到低位,并且恰好有N位。

Output Format


输出包含一行。在这一行中,应当包含唯一的那组解。解是这样表示的:输出N个数字,分别表示A,B,C……所代表的数字,相邻的两个数字用一个空格隔开,不能有多余的空格。

Sample Input #1


5

ABCED

BDACE

EBBAA

Sample Output #1


1 0 3 4 2

Hint


对于30%的数据,保证有N<=10;

对于50%的数据,保证有N<=15;

对于全部的数据,保证有N<=26。

显然是一道搜索的问题,容易想到由上向下,由右到左地搜索,枚举每种字母代表哪个数。不过这样理论复杂度为O(n!),自然我们需要剪枝。

较为明显的剪枝是,如果前两式对应位置的数相加(注意要考虑上一位有没有进位)不等于第三式对应位置的数,自然是不合理的解。另外,如果某一个数可能被多个字母代表,也是不合理的。

这样提交就可以通过90分的数据了(枚举代表的数时,从n-1~0枚举会快于0~n-1,当然这是由题目数据决定的)。如果在OI赛场上差不多可以收手了。但是打ACM的同学怎么办呢?

还有一个剪枝可以使用:对于式A+B=C,如果(A+B) mod n != C,并且(A+B+1) mod n != C(因为要考虑上一位有没有进位),这样的解显然是不合理的。所以,我们每决定一个字母所代表的数,就可以检查一下之后的位置是否满足上述剪枝,这样就能非常快地解决问题了(在洛谷评测时,仅用时30ms,就算是10年前的机器也能通过了)。

#include <stdio.h>
int n;
int ans[30];
char s1[30],s2[30],s3[30];
short vis[30],ok = 0;
short check(int dep)
{
    int i;
    for(i=dep-1;i;i--)
    {
        if(ans[s1[i]-'A'+1]<0) continue;
        if(ans[s2[i]-'A'+1]<0) continue;
        if(ans[s3[i]-'A'+1]<0) continue;
        if((ans[s1[i]-'A'+1]+ans[s2[i]-'A'+1])%n != ans[s3[i]-'A'+1] && (ans[s1[i]-'A'+1]+ans[s2[i]-'A'+1]+1)%n != ans[s3[i]-'A'+1]) return 0;
    }
    return 1;
}
void dfs(int dep,int id,int sum)
{
    int i,pos,t;
    if(!dep)
    {
        if(sum) return;
        ok = 1; return;
    }
    if(id == 1) pos = s1[dep]-'A'+1;
    else if(id == 2) pos = s2[dep]-'A'+1;
    else pos = s3[dep]-'A'+1;
    if(id < 3)
    {
        if(ans[pos] != -1) { dfs(dep,id+1,sum+ans[pos]); if(ok) return;}
        else for(i=n-1;i>=0;i--)
        {
            if(vis[i]) continue;
            ans[pos] = i; vis[i] = 1;
            if(check(dep)) dfs(dep,id+1,sum+i);
            if(ok) return;
            ans[pos] = -1; vis[i] = 0;
        }
    }
    else
    {
        t = sum%n;
        if(ans[pos] != -1)
        {
            if(t != ans[pos]) return;
            dfs(dep-1,1,sum/n);
            if(ok) return;
        }
        else
        {
            if(vis[t]) return;
            ans[pos] = t; vis[t] = 1;
            dfs(dep-1,1,sum/n);
            if(ok) return;
            ans[pos] = -1; vis[t] = 0;
        }
    }
}
int main()
{
    int i;
    scanf("%d%s%s%s",&n,s1+1,s2+1,s3+1);
    for(i=1;i<=n;i++) ans[i] = -1;
    dfs(n,1,0);
    for(i=1;i<=n;i++) printf("%d ",ans[i]);
    return 0;
}

当然,这道题也可以使用高斯消元完成。由于不知道有没有进位,所以对于每个位置都要枚举进位情况。不过既然使用搜索就能解决,何乐而不用搜索呢?

Category: 题解 | Tags: 搜索 codevs 洛谷 | Read Count: 1167

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